1. 日用而不知
来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：
用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：
之所以出现不同的值可能因为：
- 不同厂家的尺子的生产精度不同
- 尺子材质不同，热胀冷缩不一样
- 测量的时候心情起伏不定
- ……
总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：
日常中就是这么使用的。可是作为很事’er的数学爱好者，自然要想下：
- 这样做有道理吗？
- 用调和平均数行不行？
- 用中位数行不行？
- 用几何平均数行不行？
2. 最小二乘法
换一种思路来思考刚才的问题。
首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作$y_i$：
其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作$y$：
每个点都向$y$做垂线，垂线的长度就是$|y - y_i|$, 也可以理解为测量值和真实值之间的误差：
因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：
$\left| y - y _ { i } \right| \rightarrow \left( y - y _ { i } \right) ^ { 2 }$
总的误差的平方就是：
$\epsilon = \sum \left( y - y _ { i } \right) ^ { 2 }$
因为$y$是猜测的，所以可以不断变换：
自然，总的误差$\epsilon$也是在不断变化的。
法国数学家，阿德里安-馬里·勒讓德（1752－1833，这个头像有点抽象）提出让总的误差的平方最小的$y$就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动（关于这点可以看下“如何理解无偏估计？”）。
这就是最小二乘法，即：
这个猜想也蛮符合直觉的，来算一下。
这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：
进而：
正好是算术平均数。
原来算术平均数可以让误差最小啊，这下看来选用它显得讲道理了。
以下这种方法：
就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思，台湾直接翻译为最小平方法。
3. 推广
算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。
比如温度与冰淇淋的销量：
看上去像是某种线性关系：
可以假设这种线性关系为：
通过最小二乘法的思想：
上图的$i , x , y$分别为：
总误差的平方为：
不同的$a,b$会导致不同的$\epsilon$，根据多元微积分的知识，当：
这个时候$\epsilon$取最小值。
对于$a, b$而言，上述方程组为线性方程组，用之前的数据解出来：
也就是这根直线：
其实，还可以假设：
在这个假设下，可以根据最小二乘法，算出$a,b,c$，得到下面这根红色的二次曲线：
同一组数据，选择不同的$f(x)$，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线（出处）：
不同的数据，更可以选择不同的$f(x)$，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线：
$f(x)$也不能选择任意的函数，还是有一些讲究的，这里就不介绍了。
4. 最小二乘法与正态分布
我们对勒让德的猜测，即最小二乘法，仍然抱有怀疑，万一这个猜测是错误的怎么办？
数学王子高斯（1777－1855）也像我们一样心存怀疑。
高斯换了一个思考框架，通过概率统计那一套来思考。
让我们回到最初测量线段长度的问题。高斯想，通过测量得到了这些值：
每次的测量值$x_i$都和线段长度的真值$x$之间存在一个误差：
这些误差最终会形成一个概率分布，只是现在不知道误差的概率分布是什么。假设概率密度函数为：
再假设一个联合概率密度函数，这样方便把所有的测量数据利用起来：
讲到这里，有些同学可能已经看出来了上面似然函数了（关于似然函数以及马上要讲到的极大似然估计，可以参考“如何理解极大似然估计法？”）。
因为$L(x)$是关于$x$的函数，并且也是一个概率密度函数（下面分布图形是随便画的）：
根据极大似然估计的思想，概率最大的最应该出现（既然都出现了，而我又不是“天选之才”，那么自然不会是发生了小概率事件），也就是应该取到下面这点：
当下面这个式子成立时，取得最大值：
然后高斯想，最小二乘法给出的答案是：
如果最小二乘法是对的，那么$x = \overline { x }$时应该取得最大值，即：
好，现在可以来解这个微分方程了。最终得到：
这是什么？这就是正态分布啊。
并且这还是一个充要条件：
也就是说，如果误差的分布是正态分布，那么最小二乘法得到的就是最有可能的值。
那么误差的分布是正态分布吗？
我们相信，误差是由于随机的、无数的、独立的、多个因素造成的，比如之前提到的：
- 不同厂家的尺子的生产精度不同
- 尺子材质不同，热胀冷缩不一样
- 测量的时候心情起伏不定
- ……
那么根据中心极限定理（参考“为什么正态分布如此常见？”），误差的分布就应该是正态分布。
因为高斯的努力，才真正奠定了最小二乘法的重要地位。
